Théorèmes de convergence

Convergence uniforme

Soit (f_{n}) convergeant uniformément vers f.

Soit ∑ f_{n} une série uniformément convergente.

▶ ∀n, f_{n} bornée ⟹ f bornée.

▶ ∀n, f_{n} continue en a ⟹ f continue en a.

▶ ∀n, f_{n} continue en a ⟹ ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} continue en a.

▶ ∀n, f_{n}(x) → α_{n} ⟹ \begin{cases}(α_{n}) converge \\ et f(x) → lim α_{n}. \end{cases} ▶ ∀n, f_{n}(x) → α_{n} ⟹ \begin{cases}∑ α_{n} converge \\ et ∑_{n=0}^{+∞} f_{n}(x) → ∑_{n=0}^{+∞} α_{n}. \end{cases}

▶ \begin{cases}∀n, f_{n} CM \\ f CM \end{cases} ⟹ ∫_{a}^{b} f_{n} → ∫_{a}^{b} f.  ▶ \begin{cases}∀n, f_{n} CM \\ ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} CM \end{cases} ⟹ ∑_{n=0}^{+∞} ∫_{a}^{b} f_{n} = ∫_{a}^{b} ∑_{n=0}^{+∞} f_{n}.

Soit (f_{n}) une suite d’applications C^{1} : I → E qui converge simplement vers f. Si f′_{n} converge uniformément vers g, alors f est C^{1} et f′ = g.

Soit ∑ f_{n} une série d’applications C^{1} de I dans E qui

converge simplement. Si ∑ f′_{n} converge uniformément,

alors ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} est C^{1} et (∑_{n=0}^{+∞} f_{n})′ = ∑_{n=0}^{+∞} f′_{n}.

Convergence monotone

Soit (f_{n}) ∈ L^{1}(I, ℝ)^{ℕ} une suite de fonctions intégrables convergeant simplement vers f. Si Soit ∑ f_{n} une série simplement convergente de fonctions intégrables I → ℝ. Si

(i) (f_{n}) est croissante ;

(i) ∀n, f_{n} ⩾ 0 ;

(ii) f est CM;  (ii) ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} est CM;

alors

∫_{I} f_{n} → ∫_{I} f ∈ \overline{ℝ}.

En d’autres termes,

f ∈ L^{1}(I, ℝ) ⟺ (∫_{I} f_{n}) majorée ⟺ (∫_{I} f_{n}) convergente

et le cas échéant ∫_{I} f_{n} → ∫_{I} f.

alors

∑_{n=0}^{+∞} ∫_{I} f_{n} = ∫_{I} ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} ∈ \overline{ℝ}.

En d’autres termes, ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} est intégrable si et seulement si

(∑ ∫_{I} f_{n}) converge, et le cas échéant ∑_{n=0}^{+∞} ∫_{I} f_{n} = ∫_{I} ∑_{n=0}^{+∞} f_{n}.

Soit ∑ f_{n} une série simplement convergente de fonctions intégrables I → E. Si

(i) ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} est CM;

(ii) ∑ ∫_{I} ∥f_{n}∥ converge ;

alors

(i) ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} ∈ L^{1}(I, E) ;

(ii) et ∫_{I} ∑_{n=0}^{+∞} f_{n} = ∑_{n=0}^{+∞} ∫_{I} f_{n}.

Convergence dominée

Soit I un intervalle quelconque de ℝ et soit (f_{n}) une suite de fonctions continues par morceaux de I dans E convergeant simplement vers f. Si

(i) f est CM; (ii) ∃φ ∈ L^{1}(I, ℝ^{+}) / ∀n∀t, ∥f_{n}(t)∥ ⩽ φ(t) ; alors les f_{n} sont intégrables (évident), f est intégrable, et

∫_{I} f_{n} → ∫_{I} f. (Théorème de convergence dominée)

Continuité et dérivabilité sous le signe ∫

Cas d’une intégrale sur un segment, sous condition de continuité

▶ f ∈ C^{0}((X × [a, b], ∥·∥_{∞}), E) ⟹ (x ↦ ∫_{a}^{b} f(x, t) dt) ∈ C^{0}(X, E).

(Théorème de continuité sous le signe ∫)

▶ f ∈ C^{0}(X × I, E) ⟹ ((x, u, v) ↦ ∫_{u}^{v} f(x, t) dt) ∈ C^{0}(X × I × I, E).

▶ \begin{cases}f ∈ C^{0}((X × [a, b], ∥·∥_{∞}), E) \\ \frac{∂f}{∂x} & existe et est continue pour ∥·∥_{∞} \end{cases} ⟹ \begin{cases}x ↦ ∫_{a}^{b} f(x, t) dt est C^{1} \\ \frac{∂}{∂x} (∫_{a}^{b} f(x, t) dt) = ∫_{a}^{b} \frac{∂f}{∂x} (x, t) dt. \end{cases}

(Théorème de dérivation sous le signe ∫ ou formule de Leibniz)

▶ f continue ⟹ ∫_{a}^{b} ∫_{c}^{d} f = ∫_{c}^{d} ∫_{a}^{b} f.

(Théorème de Fubini)

Cas d’une fonction sommable sur un intervalle quelconque, sous condition de domination

▶ Soit f : X × I → E telle que ∀x ∈ X, (t ↦ f(x, t)) ∈ L^{1}(I, E) ; et soit F : x ↦ ∫_{I} f(x, t) dt. Si

(i) ∀t ∈ I, x ↦ f(x, t) est continue ;

(ii) il existe φ intégrable telle que ∀x∀t, ∥f(x, t)∥ ⩽ φ(t) ; alors F est continue.

▶ Soit f : J × I → E telle que ∀x ∈ J, (t ↦ f(x, t)) ∈ L^{1}(I, E) ; et soit F : x ↦ ∫_{I} f(x, t) dt. Si

(i) \frac{∂f}{∂x} existe et ∀x, t ↦ \frac{∂f}{∂x} (x, t) est continue par morceaux ;

(ii) il existe φ intégrable telle que ∀x∀t, ∥\frac{∂f}{∂x} (x, t)∥ ⩽ φ(t) ;

alors F est dérivable et F′(x) = ∫_{I} \frac{∂f}{∂x} (x, t) dt.

(I.e., \frac{∂}{∂x} ∫_{I} f(x, t) dt = ∫_{I} \frac{∂f}{∂x} (x, t) dt.)